answer:1. Чтобы найти производную функции y = -3/x, воспользуйтесь правилом дифференцирования отношения: Y' = (3/x^2) Теперь подставим x = 2: Y'(2) = 3/4 2. Чтобы вычислить интеграл от 0 до n/4 cos 2x dx, нужно воспользоваться формулой интеграла cos kx: ∫cos kx dx = (1/k)sin kx + C Теперь найдем определенный интеграл от 0 до n/4: (1/2)(sin 2(n/4)) - (1/2)(sin 2*0) = (1/2)sin(n/2) 3. Чтобы найти интервалы монотонности функции y = x^3 - (3/2)x^2 - 6x, нужно найти ее производную и определить знак этой производной на разных интервалах: У' = 3x^2 - 3x^2 - 6 Теперь решим уравнение У'=0: 3x^2 - 3x^2 - 6 = 0 3x^2 - 3x^2 = 6 x = ±√2 Таким образом, у возрастает на интервале (-∞, -√2) и убывает на интервале (-√2, √2), возрастает на интервале (√2, +∞). 4. Для решения уравнения y' - 2y/x = x^4, y(1) = 4/3, можно применить разделение переменных: у'/y = 2/x + x^4 ∫ dy/y = ∫ (2/x + x^4) dx ln|y| = 2ln|x| + (1/5)x^5 + C Теперь найдем константу C, используя начальное условие y(1) = 4/3: ln(4/3) = 2ln(1) + (1/5) + C C = -1/5 Итак, y = x^2 * e^(x^5/5 - 1/5) 5. Изучим на сходимость ряд сигма от к=1 до бесконечности (к^2 + к - 1)!/4^k. Воспользуемся признаком д'Аламбера: lim (k->∞) [ (k^2+k)!/4^k / ((к^2 + к - 1)!/4^(k-1)) ] = лим (k->∞) [(k^2+k)/4] = +∞ Таким образом, ряд расходится.

answer:1. Чтобы найти производную функции y = x^2 - x, воспользуйтесь правилом дифференцирования суммы/разности: Y' = 2x - 1 Теперь подставим x = 0.5: Y'(0.5) = 2(0.5) - 1 = 0 2. Чтобы вычислить интеграл от n/6 до n/2 cos x dx, нужно воспользоваться формулой интеграла cos x: ∫cos x dx = sin x + C Теперь найдем определенный интеграл от n/6 до n/2: sin(n/2) - sin(n/6) 3. Чтобы найти интервалы монотонности функции y = x^5 - 5x, нужно найти ее производную и определить знак этой производной на разных интервалах: У' = 5x^4 - 5 Теперь решим уравнение У'=0: 5x^4 - 5 = 0 x^4 = 1 x = ±1 Таким образом, у возрастает на интервале (-∞, -1), убывает на интервале (-1, 1) и возрастает на интервале (1, +∞). 4. Для решения уравнения y' + 2y/x = x^2, y(1) = 1.2, можно применить разделение переменных: υ'/υ = - 2/x + x^2 ∫dy/y= ∫(- 2/x+x^2) dx ln|y| = -2ln|x| + x^3/3 + C Теперь найдем константу C, используя начальное условие y(1) = 1.2: ln(1.2) = -2ln(1) + 1/3+C C = ln(1.2) - 1/3 Итак, y = e^(x^3/3 - 2ln|x| + ln(1.2) - 1/3) 5. Исследовать ряд на сходимость сигма от к=1 до бесконечности 1/√(3k + 1). Воспользуемся признаком сравнения для неотрицательных рядов. Заметим, что 1/√(3k+1) <= 1/√(3k), теперь сравним с рядом сигма от к=1 до бесконечности 1/√(3k), который является сходимостью p-го ряда с p = 1/2 (меньше 1), значит ряд расходится.

answer:1. Чтобы найти производную функции y = x^2 - x, воспользуйтесь правилом дифференцирования суммы/разности: Y' = 2x - 1 Теперь подставим x = 0: Y'(0) = 2(0) - 1 = -1 2. Вычислить интеграл от 0 до n/2 cos x dx Чтобы вычислить интеграл от 0 до n/2 cos x dx, нужно воспользоваться формулой интеграла cos x: ∫cos x dx = sin x + C Теперь найдем определенный интеграл от 0 до n/2: sin(n/2) - sin(0) sin(n/2) 3. Найти интервалы монотонности функции у=1-x^3 Мы найдем дифференциал у ': Y' = -3x^2 Теперь решим уравнение У' = 0: -3x^2 = 0 x = 0 Таким образом, у возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, +∞). 4. Решить уравнение xy' - y = x^3, y(1) = 1/2 Применим метод разделения переменных: (y'/y) = (x^3 + 1/x) ∫(dy/y) = ∫(x^3+1/x)dx ln|y| = x^4/4 + ln|x| + C Теперь найдем константу C, используя начальное условие y(1) = 1/2: ln(1/2) = 1/4 + 0 + C C = ln(1/2) - 1/4 Итак, y = x*e^(x^4/4 - 1/4) 5. Исследование ряда на сходимость сигма от к=1 до бесконечности (-1)^k+1/k: используем признак Лейбница для знакочередующихся рядов. У этого ряда условия Лейбница выполняются для монотонной функции |(-1)^k+1/k| -- элементы чередуются в знаке, а модуль убывает от k к k + 1. Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

answer:Yuri: "Oh my, congratulations Sayori!" Monika: "That's wonderful news! You're going to make a great mom." Ayano: "And we can't wait to meet the little one." Natsuki: "Aww, congratulations Sayori! I'm so happy for you!" (Suddenly, Ayano's baby starts crying.) Ayano: "Oh, excuse me for a moment." (Ayano gets up and attends to her baby, trying to soothe him.) Natsuki: "Looks like we have a new member in the club." (Everyone chuckles and Ayano finally manages to calm her baby.) Ayano: "Sorry about that. Being a mom can be a handful sometimes." Sayori: "Don't worry about it. We're just glad to have you and your little one with us." Yuri: "Indeed. It's nice to have a new addition to the club." Monika: "I agree. We're all in this together and we'll support each other." Natsuki: "Yeah! And who knows? Maybe the little one will grow up to be a great baker like me." (Everyone laughs and Ayano smiles, feeling welcomed and happy to have friends who are so supportive and kind.)